'모든 가능한 경로를 탐색하는 입자'에 대한 파인만 방법

원문: Quantum Mechanics and Dhamma 섹션의 ‘Feynman’s Method of “A Particle Exploring All Possible Paths”’ 포스트

- 2018년 3월 29일 작성

1. 이전 포스트에서 우리는 광자가 간섭(보강 및 상쇄)하는 두 가지 가능한 경로에 상응하는 두 개의 파동 함수(파동이 아님)가 어떻게 진동 신호를 생성하는지에 대한 파인만(Feynman) 교수의 설명을 논의했습니다. ‘파인만의 유리판 실험’을 참조하세요..

• * 이 실험 결과는 빛을 전자기파로 취급하면 설명할 수 없다는 것을 가리켜 보였습니다.

• * 더 중요한 것은, 광자가 떠나자마자 자연은 광자의 경로를 즉시 계획(설정)한다는 것을 보여주었습니다.

• * 이 포스트에서, 우리는 ‘자연이 실제로 무한한 경로의 수인, 모든 가능한 경로를 고려한다!’는 그의 주장에 대해 논의할 것입니다. 이것은 비국소성(nonlocality)의 핵심 아이디어이므로 우리의 사례를 명확하게 하기 위해 단계별로 진행할 것입니다.

2.  이 논의는 또한 파인만(Feynman)의 책(p. 43)에 있는 다음 그림을 기반으로 합니다. 아래 참고 문헌을 참조하세요. 광원 S로 인해 지점 P에서 수신된 빛이 고려되며, S에서 P로 가는 직접적인 경로는 그것들 사이에 배치된 스크린에 의해 차단됩니다.

• * 사람들은 입사각이 반사각과 동일하게 정의되는 경로에서 빛이 A에서 점 B로 가는 ‘광 반사의 법칙’에 익숙합니다.

• * 물론, 광자가 S에서 P에 도달하는 시간은 거울의 중심 가까이에서 최소입니다.

• * 그러나, 파인만(Feynman)은 ‘모든 경로를 탐색하는 광자’의 개념으로 더 많은 설명력을 가진 더 나은 그림을 사용할 수 있다는 것을 보여주었습니다. 그는 대부분의 가능한 경로가 취소(상쇄)되고 반사 법칙이 말하는 예상 경로에 가까운 경로만이 최종 검출 확률에 기여한다는 것을 보여주었습니다.

3. ‘모든 가능한 경로를 탐색’하는 광자의 개념을 설명하기 위해, 거울을 섹션 A부터 M까지 나누고, 거울의 각 섹션에서 반사를 표시합니다(위 그림 참조).

• * 이동 거리가 다르기 때문에, 각 경로에 걸리는 시간은 중간 그림과 같이 달라지며, 그에 따라 그 아래에 보인 바와 같이 위상이 달라집니다. 최종 진폭은 그 화살표들을 추가하여 주어지며, 그림의 하단에 표시되어 있습니다.

4. 두 ‘파동’에서 기여(contribution)를 더하는 것과 마찬가지로, ‘파동 함수’에서 기여(contribution)를 더하는 것은 위상각의 차이를 고려해야 합니다. 파인만(Feynman)은 이것을 간단한 용어로 묘사했는데, 그것은 벡터 가법(vector addition)을 사용하여 많은 파동 함수로 인한 기여(contribution)를 더하는 방법입니다(pp. 24~35 참조).

• * 최종 화살표의 길이에 대한 주된 기여는 화살표 E에서 I(거울의 중앙 부분에서)에 의해 이루어지며, 그 경로들의 타이밍이 거의 동일하기 때문에 그 방향들이 거의 동일합니다. 이것은 또한 반사 법칙에서 예상되는 경로인, 굵은 화살표로 표시된 바와 같이 전체 시간이 가장 적은 곳에서 발생합니다.

• * 우리가 고등학교에서 배우는 반사 법칙은 [여기서] 작용하는 간단한 규칙입니다. 그러나 실제로 거울의 각 지점에서 반사된 것은 P의 신호에 기여합니다. 단지 그러한 기여들의 대부분이 취소(상쇄)됩니다(위 그림의 아래 부분 참조).

5. 거울의 가장자리도 P의 신호에 기여한다는 것을 증명하기 위해, 우리는 거울의 대부분을 잘라내고 왼쪽에 섹션 A, B, C만 남깁니다. 위 그림에서, 그 세 개의 섹션으로 인해 세 개의 화살표를 더하면, 그것들은 거의 최소(상쇄)됩니다. 이것이 우리가 중심에서 멀리 떨어진 부분에서는 의미있는(현저한) 기여를 보지 못하는 이유입니다.

• * 이제 그 섹션(위 그림의 A, B, C)을 4개의 동일한 섹션으로 나누면, 물론 아래 그림의 위 부분에 표시된 것처럼 다시 취소(상쇄)됩니다.

• * 그러나 이제 이 4개의 섹션 중 건너뛰게 2개를 세밀히 긁어내면(그림의 아래 부분 참조), 2개의 반사 섹션으로 인한 신호가 합산되어 강렬한 신호를 줍니다. 위 그림의 아래 부분을 참조하세요.

6. 이것은 정상 반사(normal reflection) 중에 중앙에서 멀리 떨어진 거울 부분도 신호에 기여한다는 것을 확실히 증명합니다. 단지 그 신호의 대부분이 취소(상쇄)된다는 것입니다. 따라서 모든 실용적인 목적을 위해서는, 거울의 중앙 부분에서 반사되는 것만을 취하는 것(즉, ‘기하광학_geometrical optics’에서 반사 법칙을 사용하는 것)으로 충분합니다.

• * 그러나 특정 방향의 화살표만 유지하고 반대 방향의 다른 화살표를 제거하면(거울의 그  위치에 에칭함), 위 #5에 보인 바와 같이, 중앙에서 멀리 떨어져 있는 거울 부분에서 상당한 양의 빛이 반사됩니다.

• * 거울의 수정된 부분은 물론 이제 회절 격자(diffraction grating)입니다.

7. 파인만(Feynman)은 그의 책에서 여러가지 예를 논의하지만, 이 방법이 인과 원리와 일치한다는 점을 설명하기 위해 한 가지 예만 더 논의하겠습니다.

• * 여기서 우리는 뉴턴(Newton)과 페르마(Fermat)의 ‘입자로서의 광자’ 아이디어에 인과 관계 문제를 야기한 굴절의 경우를 고찰합니다.

• * 정말로 관심이 있는 사람들은 Ivar Ekeland의 책(아래 ‘참고 문헌’ 참조)에서 Newton에서 Fermat를 거쳐 Feynman까지 사상의 역사적 진화를 자세히 볼 수 있습니다.

8. 아래 그림은 공기 중의 광원(S)에서 물 속에 있는 검출기(D)로 빛의 굴절을 보여줍니다. 거울의 경우와 마찬가지로, 우리는 S에서 D까지의 모든 가능한 경로를 고려하고 광자가 수면의 ‘다른 섹션’을 통해 점 D에 도달하는 데 걸리는 시간을 매핑합니다.

• * 빛이 공기 중에 있는 것보다 물 속에서 더 느리게 이동하는 것을 고려하여, 그것의 경로를 변경(‘굴절’이라고 함)함으로써 물 속의 검출기에 도달하는 데 ‘최소 시간’이 걸리는 관측은 1657년에 페르마에 의해 설명되었는데, 이것은 다음 포스트인 ‘Exploring All Possible Paths Leads to Fermat’s Principle of Least Time’에서 논의할 것입니다.

• * 그러나, 파인만이 ‘모든 가능한 경로를 탐색하는 입자’에 대한 방법을 제시하기 전까지는 이 현상은 ‘입자 그림’으로 설명될 수 없었습니다.

• * 다시 한 번, 최적의 경로에서 벗어난 대부분의 경로가 취소(상쇄)됩니다. 주된 기여는 굵은 화살표로 표시된 예상 화살표에 가까운 경로에서 비롯되며,  페르마의 최소 시간 원리는 이 ‘입자 묘사’로 [그 타당함이] 회복됩니다.

9. 페르마(Fermat)의 아이디어에 대해 모든 사람(파인만을 포함)을 성가시게 한 것은 에이전시(agency, 대행자/선택의지)가 필요한 것처럼 보였다는 것입니다. 빛이 어떻게 길을 선택할 수 있을까요?  어떤 경로가 가장 빠른지 어떻게 빛이 알 수 있을까요?

그것에 대해 파인만은 다음과 같이 말합니다(Feynman Lectures, Vol. 1, Chapter 26).

“최소 시간의 원리는 자연이 작용하는 방식에 대한 완전히 다른 철학적 원리입니다. 우리가 어떤 한 가지 일을 하면 다른 어떤 일이 일어나고 등등을 그것이 인과적인 것이라고 말하는 대신, 이렇게 말합니다. 우리는 상황을 설정하고, 빛은 어떤 것이 가장 짧은 시간인지 또는 극단적인 시간인지를 결정하고 그 길을 선택합니다. 하지만, 그것은 무엇을 하고, 그것은 어떻게 알아낼 수 있을까요? 그것은 근처 경로를 냄새맡고, 서로 확인할까요? 답은 ‘그렇다’입니다. 그것은 어떤 면에서 그렇습니다.”

• * 그 설명은 자연이 비국소적이기 때문에 파이만(Feynman)의 방법이 효과가 있다(작용한다)는 것입니다. 이에 대해서는 향후 포스트에서 자세히 다루도록 하겠습니다.

• * 파인만 강의들에 대한 링크는 ‘참고 문헌’에 있습니다.

전자도 모든 가능한 경로를 탐색한다

파인만(Feynman)이 가리켜 보였듯이, 우리가 지금까지 논의한 모든 것은 전자의 전파 및 검출에 적용될 수 있습니다. 전자도 또한 ‘모든 가능한 경로를 탐색’하며, 이러한 경로는 실험 구성에 의해 결정됩니다.

• * 실험 구성이 변경되면, 그 경로가 즉시 재구성됩니다. 물론 양자 전기역학(QED)은 전자와 광자의 가능한 궤적을 통합합니다.

• * 물리학자들이 ‘이중 슬릿 실험’과 같은 양자 현상에도 똑같이 적용해야 한다는 사실을 깨닫지 못한 채, 70년 동안 파인만의 양자 전기역학(QED) 버전을 사용했다는 사실을 알면 놀랍습니다.

결론

Newton에서 Fermat로 Feynman까지 ‘빛을 입자로 묘사한 것’에 대해 존재했던 핵심 철학적 문제는 광자가 어떻게 최소 시간의 경로를 결정하는 방법을 미리 아는지를 설명하는 것이었습니다.

• * 그러나 그 문제는 광자(또는 모든 입자)가 자연의 비국소성(nonlocality)에 따라 ‘모든 가능한 경로’를 고려한다는 것을 깨달을 때 사라집니다.

• * 비국소성(nonlocality)에 대해서는 곧 있을 포스트에서 자세히 다루겠습니다. 필자는 단지 파인만 교수의 실험적 증거를 먼저 제공하고 싶었습니다.

이 양자역학 포스트들에 대해 질문이 있으면 토론 포럼의 ‘Quantum Mechanics – A New Interpretation’에서 논의할 수 있습니다.

참고 문헌

1. I. Ekeland, “The Best of All Possible Worlds: Mathematics and Destiny”, (University of Chicago Press, 2006).

2. R. P. Feynman, “QED: The Strange Theory of Light and Matter” (Princeton University Press, 1985).

The Feynman Lectures on Physics, Volume I

The Feynman Lectures on Physics, Volume II

The Feynman Lectures on Physics, Volume III