'모든 가능한 경로 탐색'은 페르마의 최소 시간 원리로 이어진다

원문: Quantum Mechanics and Dhamma 섹션의 ‘“Exploring All Possible Paths” Leads to Fermat’s Principle of Least Time’ 포스트

- 2018년 4월 1일 작성; 2021년 6월 22일 개정

빛은 왜 물 속으로 들어갈 때 구부려지는가?

1. 1657년에, (페르마의 마지막 정리 뒤에) 프랑스의 변호사이자 수학자 피에르 드 페르마는 빛이 한 곳에서 다른 곳으로 이동할 때 항상 최소 시간의 경로를 따른다는 것을 알아냈습니다. 공기에서 물로 가는 광선의 경로는 다음과 같습니다.

• * 빛이 통과하는 물질과 표면에 닿는 각도에 따라, 빛이 구부러지는 정확한 각도를 정확하게 예측하는 스넬(Snell)의 법칙(그림 참조)이라는 공식이 있습니다.

• * 페르마(Fermat)는 빛이 공기 중에서보다 물에서 느리게 이동한다는 점을 고려하여 경로를 변경함으로써(‘굴절’이라고 함) 물 속의 검출기에 도달하는 데 ‘최소 시간’이 소요되는 빛에 대한 관찰을 설명했습니다.

• * 그러나 왜 [빛이] 그렇게 거동하는지에 대한 물음에 대해서는 지금까지 답변되지 않았습니다. 더욱이, 앞에 계면/접촉면이 있다는 것을 광자는 어떻게 알 수 있을까요? ‘모든 가능한 경로를 탐색하는 입자에 대한 파인만 방법’ 포스트에서 보았듯이, 빛의 파동 이론으로는 그것을 설명할 수 없습니다.

• * 또한 그 포스트에서 보았듯이, 파인만(Feynman)은 ‘모든 가능한 경로를 탐색하는 광자’라는 기법을 생각해 냈지만 그것이 작용하는 이유를 알지 못했다고 인정했습니다. 향후 포스트에서 우리는 그것이 자연의 비국소성(nonlocality)과 광자의 ‘모든 가능한 경로’에 대한 양자장(quantum field)의 순간적 확립(설정)으로 인한 것임을 보여줄 것입니다.

수영자(Swimmer)는 빛과 같이 행한다!

2. 그것은 구조원이 (본능적으로) 물에 빠진 수영자에게 다가가는 것과 똑같은 절차입니다. 아래 그림은 그 상황을 보여줍니다.

최소 시간의 경로를 어떻게 찾는가?

3. 위의 그림을 보면, 얼핏 보면 직선(경로 A)이 가장 빠른 경로가 아닐까하는 생각이 들 수 있습니다. 그것은 확실히 가장 짧은 길이지만, 해변을 따라 더 빨리 달릴 수 있고 물보다 육지에서 더 많은 거리를 이동할 수 있기 때문에 가장 빠르지는 않습니다.

• * 그러나, 수중 거리를 최소화하는 경로 B로 달리면, 그것도 또한 가장 빠른 것은 아닙니다. 그것은 그 경로가 너무 길어서 느려집니다. 

• * 가장 빠른 경로는 A와 B 사이 어딘가에 있는 특정 경로인 C로, 인명 구조원은  물에서 가장 짧은 경로인 x에 이르기 전에 물속으로 점프합니다.

• * 물론, 인명 구조원은 이 모든 것에 대해 생각조차 하지 않을 것입니다. 대신 본능적으로 이 최적의 경로 C에 가까운 것으로 판명되는 경로를 선택합니다.

개에 대한 실험

4. 필자는 누군가 인명 구조원을 대상으로 실험하고 그들이 ‘최적 경로’에 얼마나 가까이 가는지를 알아보는 사람(연구자)을 본 적이 없습니다. 그러나 필자는 미시간 호수에 던져진 공을 가져오는 개를 연구한 수학 교수의 논문을 우연히 발견했습니다.

• * 그는 (많은 측정을 통해) 개의 경로가 스넬(Snell)의 법칙으로 예측된 최적 경로에 가깝다는 것을 발견했습니다. ‘Do Dogs Know Calculus- Pennings-2003’ 을 참조하세요.

5. Pennings 교수는 35개의 데이터 포인트(위 그림의 x 및 y 값, 미터 단위)를 수집한 후 이를 도표화했습니다. 이러한 데이터 포인트와 함께, 그는 (위 논문의 그림에서) 아래 직선으로 표시된, 스넬(Snell)의 법칙에 의해 예측된 최적의 궤적도 그렸습니다.

• * 그러므로, 광자가 ‘최소 시간의 경로’를 선택하는 방법을 ‘알고 있는’ 것처럼 개도 그럴 것입니다!

개미도 최소 시간의 경로를 취한다

6. 더 흥미롭게도, 개미조차도 먹이에 도달하는 데 시간이 가장 적게 걸리는 ‘최적 경로’를 찾는 것 같습니다.

• * 연구자 그룹은 유리 표면과 거친 녹색 펠트 표면(위의 경우에서 ‘공기와 물’ 또는 ‘모래와 물’과 유사)을 사용하여 개미 군락을 분리했습니다. 그들은 거친 녹색 펠트 표면에 개미 먹이를 조금 놓았습니다.

• * 그들은 개미의 종적이 [먹이까지의] 직선 경로보다 가장 빠른 경로에 훨씬 더 가깝다는 것을 발견했습니다. 빛과 구조원처럼 이 개미들은 거리가 아니라 시간을 최소화하는 것처럼 보였습니다. 개미의 종적을 보여주는 다음 그림은 그들의 논문에서 가져온 것입니다. ‘Fermat’s Principle of Least Time Predicts Refraction of Ant Trails at Substrate Borders’을 참조하세요. 

결론

Newton에서 Fermat로 Feynman까지 ‘빛을 입자로 묘사한 것’에 대해 존재했던 핵심 철학적 문제는 광자가 어떻게 최소 시간의 경로를 결정하는 방법을 미리 아는지를 설명하는 것이었습니다. ‘참고 문헌’에서 Ivar Ekeland의 책을 참조하세요.

• * 그러나 그 문제는 광자(또는 모든 입자)가 자연의 비국소성(nonlocality)에 따라 ‘모든 가능한 경로’를 순간적으로 고려한다는 것을 깨달을 때 사라집니다. 이것이 양자역학에 대한 우리의 새로운 해석의 기초입니다. 이에 대해서는 곧 있을 포스트에서 자세히 다루도록 하겠습니다.

• * 흥미롭게도, 인간, 개, 개미 모두가 본능적으로 ‘최소 시간의 경로’를 취한다는 관찰은 이것이 자연이 어떻게 작용하는지를 보여줍니다. 유정체(living beings)도 이 ‘자연의 비국소성(nonlocality of Nature)’에 의해 인도됩니다. 이 예는 자연이 작용하는 방식에 대해 우리가 모르는 것이 너무 많다는 것을 보여줍니다.

• * 그것은 자연이 어떻게 자동적으로 깜마 위빠-까(kamma vipāka)를 실행하는지와 밀접하게 관련되어 있습니다. 그것은 우리가 나아감에 따라 더 명확해질 것입니다. 또한, ‘양자 얽힘 ㅡ 우리는 모두 연결되어 있다’ 포스트를 참조하세요.

이 양자역학 포스트들에 대해 질문이 있으면 토론 포럼의 ‘Quantum Mechanics – A New Interpretation’에서 논의할 수 있습니다.

참고 문헌

1. I. Ekeland, “The Best of All Possible Worlds: Mathematics and Destiny” (University of Chicago Press, 2006).

2. R. P. Feynman, “QED: The Strange Theory of Light and Matter” (Princeton University Press, 1985).

3. J. Oettler et al., “Fermat’s Principle of Least Time Predicts Refraction of Ant Trails at Substrate Borders,” PLOS ONE, vol. 8, issue 3, e59739 (2013).

4. T. J. Pennings, “Do Dogs Know Calculus?“, The College Mathematics Journal, vol. 34, No. 3, pp. 178-182 (2003); link to pdf in #4 above.